Ponieważ nie mam dobrego punktu zaczepienia :) dopiszę
się najprymitywniejszymi przykładami tu:

On Fri, 10 Sep 2004, RoMan Mandziejewicz wrote:
[...]
>+ klasycznej metodzie zaokraglania i bardzo dużej ilości zaokrągleń
>+ końcówki z zakrągleń nie kompensują się do zera. Przy tej metodzie -
>+ kompensują się.

O tym iż dotyczy to wyłącznie wartości skwantowanych już było, o tym
iż ujawnia się przy "nieparzystych" podstawach liczenia - też. To
dla tych co stracili cierpliwość czytania całego wątku :)

Teraz obiecany przykład:

Przyjmijmy że mamy cos, co przypomina "uproszczony PIT-36" :)
Chodzi o to aby *wyodrębnić* tylko niektóre operacje - tak aby
*łatwo* dało się pokazać te podzbiory wartości, które mogą
być źródłem "dryfu" !
Jak nie uproszczę - to każda kolejna operacja na "rzeczywistym PIT-36
za rok 2003" (na przykład :)) skutecznie skomplikuje próbę opisania
gdzie jest pies pogrzebany :], bo pierwsze "wyłuskanie zbędnej operacji"
zajmie pół strony, kolejnej stronę (jako iż jest interakcja nie tylko
z danymi uproszczonymi ale i z pierwszą wartością pośrednią)... po
czym dostaję bana na newsserwerach "due to terabyte transfer access
denied" ! ;>

No to jedziemy :)
Mamy w pewnym miejscu "podstawę opodatkowania".
Powoduje nam to pewną trudność - mianowicie na "prawdziwym"
PIT-36 jest ona "zaokrąglana do pełnych złotych".
To powoduje PEWIEN PROBLEM :[
Odłóżmy go na bok [1] :] - rozpatrujemy *przykład*.

Mamy więc "podstawę" i przyjmujemy iż jest ona statystycznie
równomierna: biorąc pod uwagę ilość czynników wpływających
(w tym statystyczna pensja lub statystyczny przychód z DG
zależny od setetk jak nie tysięcy statystycznych składników)
- zabieramy się za krok następny: liczymy podatek.
Pracowicie liczymy - i wpisujemy wartość gdzie trzeba.
Teraz przepisujemy go niżej (mamy "uproszczony" PIT :))
do pozycji "podatek do zapłaty" i czytamy: "zaokrąglone
do dziesiątek groszy". No to cóż - minister kazał
to zaokrąglamy - i jedziemy dalej.
A ja powiadam - STOP.
Popatrz co robisz: przecież podatek wyliczony jako wartość
"matematyczna" - przez pomnożenie "podstawy" * 0,19 był,
i owszem, wartością "równomierną".
Ale... ale WYNIK został JUŻ skwantowany !!
Myśmy *zaokrąglali* wynik "prawdziwego obliczenia podatku" !
I teraz ową wartość... ano, wzięliśmy do zaokrąglenia !

No to co, rzekłby ktoś... przecież mamy tyle samo.
Mamy tyle samo ??
Ależ .... "niemal prawda" !

Dla wyniku "prawdziwego" 1422,0436 zł - owszem, "mamy tyle samo".
Znaczy: wyszło 1422,04 zł.
Dla wyniku "prawdziwego" 1422,1367 zł - też mamy tyle samo.
Ale... bierzemy lupkę :) i dokładniej przygladamy się przebiegowi
naszego "przekształcenia podstawy w podatek" w bliskiej okolicy
*pewnych* wartości...
Dla wyniku "prawdziwego" 1422,0550 - owszem, mamy tyle samo.
Ale dla 1422,2469... No, CO JEST GRANE ???
Przecież "każdy głupi" widzi, że MA BYĆ 1422,20 !!
A tu w tabelce JEST - 1422,30 !!

Oczywiście - *tych zakresów jest mało*.
Niewierzący proszeni są o palnięcie sobie stosownej tabelki
w arkuszu kalkulacyjnym - z kolumnami "zaokrąglenie 2 cyfr"
(przecież to "zwykłe wpisanie o formularza" :)) oraz "zaokrąglenie
do 1 cyfry" odpowiednio *od podatku* (dla 19% - oczywiście ja
sobie to sprawdziłem że podaję REALNE wartości :>) oraz "od
wartości wpisanej do arkusza" - czyli JUŻ zaokrąglonej.

Ufff... no to jeden element mamy z głowy: wyjaśnienie że jeśli
*kiedykolwiek* robimy zaokrąglanie od zaokrąglania - no to
zastosowanie metody "wszystkie piątki w górę" generuje
*statystyczny* błąd - błąd "na sztywno" przyszyty do *metody*
zaokrąglania !

Prosty "eksperyment z arkuszem" pokazuje iż mamy do czynienia
z dwoma lub trzema "odchyleniami" na każde mniej więcej 53
kroki podatku ! Czyli *około* 2,5/53=4,7% błędów na poziomie
10 groszy na operację... zgrubnie 0,5 grosza "na operację",
można policzyć dla granic 2/53 do 3/52 :) !
Zauważmy - to jest dwadzieścia razy MNIEJ niż wynosi "dokładność
operacji", bo nasza "dokładność" to 10 groszy, a NIE grosz !

Teraz musimy sobie utrudnić... :]
Co się mianowicie stanie, jeśli wyniki tak policzonych "podatków
częściowych" byśmy dodawali (uwaga: oczywiście na PIT takiej
operacji NIE MA) ?
Ano - błąd jest od *każdej operacji*.
Czyli przy dodawaniu - błąd się po prostu SUMUJE.
Co będzie gdybyśmy mieli odejmowanie takich wyników ?
Ano - STATYSTYCZNIE by się ów błąd znosił !
Oczywiście przyczyniałby się do wzrostu "zakłócenia wyników"
- ale ŚREDNIA (dla "statystycznie równomiernych danych wejściowych")
by się kompensowała.

Teraz popatrzmy co się stanie, jeśli to zamienimy kolejność
operacji: napierw *sumujemy* jakieś dane pośrednie, a dopiero
następnie je OBCINAMY. Co się dzieje ?
Ano - nic nadzwyczajnego: powodem błędu jest operacja "obcięcia"
a nie sumowania; krótko mówiąc jeśli mamy "statystycznie
równomierne" dane wejściowe - to przy obcieciu robionym na
sumie mamy nadal JEDEN błąd. Znaczy: statystyczny błąd jest
jak dla obcięcia bez dodawania :)
Żeby było śmieszniej - to samo dotyczy danych odejmowanych
*o ile* :) wyniki są *tylko dodatnie* - dla wyników (!) tylko
ujemnych dryft będzie ujemny :), dla wyników "statystycznie
zerowych" - statystycznie zerowy (oczywiście takie rubryki
"urzędowe" na których jest "statystycznie zero" a jednocześnie
*są* wypełniane przez większość zainteresowanych to rzadko
się spotyka :), ale "dla porządku"...).


Pięknie.

No to teraz czeka mnie poważny zarzut: "no dobra, ale przecież
warunkiem żeby tak się stało jest właśnie obcinanie danych !
A GDZIE ty przy 'normalnych' obliczeniach - płacowych
na przykład widzisz takie 'obcinanie' ?"
- prawda ??
:)

No to... zastanówmy się...
Nikt nic nie obcina ? Na pewno ? ;)

Na razie - tośmy sobie rozpatrzeli aż trzy operacje:
- obcinanie (z pytaniem "a kto i kiedy obcina")
- dodawanie (przed i po obcinaniu)
- odejmowanie (jak wyżej).

Oczywiście. oponenci już wiedzą do czego piję (a nieoponenci
wiedzieli od początku :)) - mianowicie:

A MNOŻENIE TO PIES ??!

Co się dzieje, że tak spytam po dobroci, jeśli mnożymy dwie wartości
mające dwie liczby po przecinku - a zdaje się że to jest najczęstszy
przypadek, prawda ?
Co, cyfr po ułamku przybywa ? Myślałby kto.
I te cyfry się "przepisuje" jakoby ? ;) - nie, NIE WIERZĘ :)
Szczególnie jak to jest "urzędowy składnik" czegokolwiek - wcale
nie musi być "z rozporządzenia ministra", jak robotnikowi się
"suma na pasku nie zgodzi" i w ramach wyjaśnień zacznienie mu
operować cyframi znaczącymi, mantysą i eksponentem - to narazicie
się, ale na ekspozycję czynników szkodliwych dla zdrowia :]


Owszem, mam problem "empiryczny": żeby sobie obejrzeć
"empiryczny rozkład odchylenia przy obcięciu a'la
uproszczony podatek PIT" - wystarczy machnąć prostą tabelkę
z kilkoma kolumnami.
Dodawanie, odejmowania oraz zależność "przed i po" (obcięciu)
można łatwo wywieść "na rozum" - bez tabelki (a przynajmniej
tak mi się wydaje).

Aby sobie cokolwiek obejrzeć przy "mnożeniu z obcieciem"
trzeba sobie zrobić dwuwymiarowy arkusz z wartościami
i w trzecim wymiarze :] domalować poszczególne elementy
obliczeń "do wyniku"...
Pewnikiem jakowyś matematyk mógłby machnąć uczonym wywodem
- z którego równo byśmy skorzystali :> (chyba że akurat
ktoś jest na etapie zaliczania stosownego działu matematyki :)).

Krótko mówiąc... dla danych innych niż (np. na fakturze :))
podanie np. ceny jednostkowej dokładniej :) niż grosze
- wywodu nie dostarczam :) (bo dla "ułamków grosza" już mamy).
Ale...
Jak kogoś wstępnie przekonałem :) że:
- zaokrąglanie "wszystkie piątki w górę" POWODUJE błąd przy
zaokrąglaniu wartości zaokrąglonych i to NIE JEST błąd
pochodzący z "rozrzutu wyników" tylko błąd DODATKOWY
- przy mnożeniu wartości stałoprzecinkowych z wynikiem
o tym samym rozmiarze "po przecinku" WYSTĘPUJE owo zaokrąglenie
- trzeba się chwilę zastanowić przed postawieniem tezu że
"to nie ma znaczenia" - bo na pierwszy rzut oka zaokrąglanie
zaokrąglonego też "nie powinno" :) mieć znaczenia

...to mi wystarczy.

Jak ktoś jeszcze nie padł to może sobie komentarz do
odnośnika poczytać :)

[1]
Ponieważ jednak nasza szanowna "skala" na szczęscie :) polega na
pomnożeniu "podstawy" przez 19% (przynajmniej dla sporej ilości
podatników !) - spytam: czy możemy przyjąć iż rozkład wartości
podatku MIMO istnienia wcześniejszego obcięcia będzie równomierny
w zakresie *części ułamkowej* wartości podatku, po odrzuceniu
całych złotych" ?
Pytanie NIE JEST trywialne. Wiem.
Aby było trywialne - należałoby oczekiwać aby na PITach były
*różne* wartości współczynnika skali !
Tak jest - ale też tylko z KILKOMA współczynnikami.
Krótko mówiąc - mamy sytuację znacznie trudniejszą niż np. przy
liczeniu różnych "podstaw ZUS" kiedy to współczynniki są liczone
co chwilę z innych średnich :(
Niemniej: *jeśli* dopuścimy takie założenie - to możemy iść dalej
również dla "prawdziwego PITa" :)
Mi JEST potrzebne zaokrąglenie - ale NIE TO :)

--
pozdrowienia, Gotfryd
(KPiR, VAT, ZUS)