> Posiadam kasę fiskalną, zgłoszoną i zainstalowaną w miejscu X.
> Czy prowadząc przy okazji działalność, która jest zwolniona z kasy
> (sprzedaż przez internet)

Dla Ciebie nie jest ona już zwolniona.

> w miejscu Y, muszę mieć urządzenie rejestrujące/kasę fiskalną w miejscu Y?

Jeśli będziesz prowadził w miejscu Y sprzedaż dla odbiorców, dla kórych
musisz wystawić paragon to kasę musisz mieć.

> Czy mogę np. wystawiać faktury w miejscu Y, a tam, gdzie mam kasę - w
> miejscu X, prowadzić dalej sprzedaż przy jej użyciu.

Jak wyżej - jeśli w miejscu Y nie będziesz prowdził sprzedaży, dla której
musisz wystawić paragon, to kasa nie jest Ci potrzebna. Alejesli liczysz,
że np. dla Kowalskiego (nie prowadzącego DG) wystawisz f-rę, a w miejscu X
nabijesz później paragon - to nie przejdzie.

> Czy fakt posiadania już kasy obliguje mnie do używania kasy bezwzględnie:

Tak