> Otrzymałem przelewem zaliczkę (przedpłatę) na zakup sprzętu dla klienta.
> Sprzęt dostarczę w ciągu 2 tygodni. Powinienem więc chyba wystawić mu fakturę
> zaliczkową

Jeśli jest taki obowiązek lub było żądanie jej wystawienia.

> i rozliczyć VAT (wpłata nastąpiła pod koniec miesiąca).

To tak.

> Po otrzymaniu zaliczki zamówiłem sprzęt u mojego dostawcy, również dokonałem
> przedpłaty i również muszę poczekać na sprzęt. Żadnej faktury zaliczkowej nie
> dostałem i nie wiem, czy mam się o nią upominać,

Możesz. Ale pamiętaj, że nikt Ci faktury nie musi wysyłać. Oni majajedynei
obowiazek wystawić. Często jednak nadal wiele firm ignoruje ten obowiązek.

> czy tak na prawdę nie trzeba jej wystawiać i dlatego dostawca mi jej nie
> wystawił?

Trzeba. W przypadku handlu miedzy firmami faktury wystawia się z mocy prawa. A
tak wogóle skąd wiesz, ze nie wystawił? Napisałeś wyżej, że jej nie dostałeś. A
to nie jest równoznaczne.